al contrario se le due note risultassero sincrone a maggiori distanze di oscillazioni (la distanza di terza comporta un rapporto di 9:8, quindi diventa sincrona ogni 9 oscillazioni del pendolo più rapido e 8 del più lento) queste sarebbero troppe perché il nostro orecchio ne possa apprezzare la sincronia e quindi risulterebbero dissonanti. a maggior ragione risulterebbero dissonanti con rapporti incommensurabili (ossia con numeri che non hanno un minimo comune multiplo). come vedremo la sua spiegazione fu semplicistica, ma tornando a pitagora, si pensò di ovviare almeno a questi due inconvenienti studiando una scala con più note (12), ma con intervalli più omogenei: 204cent per le distanze di tono e 96cent per le distanze di semitono: così nacque la scala cromatica pitagorica. sicuramente la scala cromatica pitagorica risolve il problema della scala pitagorica diatonica di avere a disposizione solo 7 note, però gli altri inconvenienti sono solo attenuati: ad esempio la dissonanza dell'intervallo di terza non viene eliminato del tutto, anche se qui risulta meno stridente (soprattutto però diventa stridente in presenza di strumenti che generano molte armoniche perché ad esempio la quinta armonica naturale di do, 1308hz, risulta molto vicina alla quarta armonica del mi pitagorico, 1332,4hz), inoltre qui la non perfetta consonanza la ritroviamo anche nell'intervallo di sesta. per di più se si suonasse in una tonalità (per tonalità si intende la scala che prende il nome dalla sua nota di partenza) molto distante da quella indicata a fianco tutti gli strumenti accordati su quella scala risulterebbero sgradevolmente stonati. per fortuna però la musica greca era prevalentemente melodica, quindi non c'erano sovrapposizioni di voci che non fossero all'unisono o distanziate di un intervallo di quinta, inoltre gli strumenti utilizzati, come ad esempio il flauto, erano molto poveri di armonici superiori. scala cromatica pitagorica. nota rapporto frequenza (hz) cent. do 1:1 261,6 0. do# 2187:2048 279,4 114. re 9:8 294,3 204. mib 32:27 310,1 294. mi 81:64 331,2 408. fa 4:3 348,8 498. fa# 729:512 372,5 612. sol 3:2 392,4 702. sol# 6561:4096 419,1 816. la 27:16 441.5 906. sib 16:9 465,1 996. si 243:128 496,7 1110. do 2:1 523,3 1200.

l'evoluzione musicale. lo studio delle scale. però il gigantesco lavoro di pitagora non ha lasciato indifferenti i matematici successivi e già due secoli dopo aristosseno di taranto cominciò a lavorare intorno ad una scala musicale 'temperata equabile', l'argomento fu ulteriormente approfondito da simone stevino nel xvi secolo dell'era volgare e nello stesso periodo dal musicista, padre di galileo, vincenzo galilei. come si vede la sua adozione fu molto graduale nel tempo e questo per due ragioni, una tecnologica e uno estetico, ossia non esistevano strumenti così precisi per poter fare un'accordatura così precisa e inoltre si andavano a falsare alcuni intervalli pitagorici (ricordate, li abbiamo chiamati intervalli 'giusti'?), che all'orecchio risultavano più 'puri'. pensate che solo nel 1917 william braid white sviluppò un metodo praticamente utilizzabile per accordare un pianoforte secondo un temperamento equabile rigoroso. molto prima però si era arrivati ad avere la base di calcolo esatta utilizzando i numeri irrazionali: il rapporto di frequenze che identificava il semitono temperato doveva essere la radice dodicesima di 2 (12√2), un numero irrazionale. in questo modo dodici semitoni coprono esattamente l'intervallo di un'ottava. poiché 12√2 ≅ 1,06 ≅ 18/17, il semitono “temperato” risulta essere una via di mezzo tra il semitono cromatico (25/24) e il semitono diatonico (16/15) della scala naturale. il tono invece vale 12√2x12√2 ≅ 1,1224, quindi è molto più vicino al tono maggiore naturale (9/8=1,125) che al tono minore (10/9 ≅ 1,111). come conseguenza la terza maggiore temperata è decisamente crescente rispetto alla terza maggiore naturale, che è formata da un tono maggiore e un tono minore. benché il temperamento equabile sia stato teorizzato prima dell'introduzione in matematica del concetto di logaritmo, l'operazione di suddivisione equabile dell'ottava risulta semplificata se, invece di associare a ciascun intervallo musicale il rapporto fra le frequenze fondamentali delle note che lo compongono, si associa all'intervallo il logaritmo di questo rapporto. infatti in questo modo la giustapposizione di due intervalli consecutivi (ad esempio due toni che formano una terza maggiore). anziché essere rappresentata dal prodotto dei rapporti di frequenze corrispondenti, è rappresentata dalla somma dei rispettivi logaritmi. quindi la suddivisione dell'ottava in semitoni uguali comporta la semplice divisione per 12 del corrispondente valore logaritmico, anziché l'estrazione di una radice dodicesima.

Al contrario se le due note risultassero sincrone a maggiori distanze di oscillazioni (la distanza di terza comporta un rapporto di 9:8, quindi diventa sincrona ogni 9 oscillazioni del pendolo più rapido e 8 del più lento) queste sarebbero troppe perché il nostro orecchio ne possa apprezzare la sincronia e quindi risulterebbero dissonanti. A maggior ragione risulterebbero dissonanti con rapporti incommensurabili (ossia con numeri che non hanno un minimo comune multiplo).
Come vedremo la sua spiegazione fu semplicistica, ma tornando a Pitagora, si pensò di ovviare almeno a questi due inconvenienti studiando una scala con più note (12), ma con intervalli più omogenei: 204cent per le distanze di tono e 96cent per le distanze di semitono: così nacque la scala cromatica pitagorica.
Sicuramente la scala cromatica pitagorica risolve il problema della scala pitagorica diatonica di avere a disposizione solo 7 note, però gli altri inconvenienti sono solo attenuati: ad esempio la dissonanza dell'intervallo di terza non viene eliminato del tutto, anche se qui risulta meno stridente (soprattutto però diventa stridente in presenza di strumenti che generano molte armoniche perché ad esempio la quinta armonica naturale di DO, 1308Hz, risulta molto vicina alla quarta armonica del MI pitagorico, 1332,4Hz), inoltre qui la non perfetta consonanza la ritroviamo anche nell'intervallo di sesta.
Per di più se si suonasse in una tonalità (per tonalità si intende la scala che prende il nome dalla sua nota di partenza) molto distante da quella indicata a fianco tutti gli strumenti accordati su quella scala risulterebbero sgradevolmente stonati.
Per fortuna però la musica greca era prevalentemente melodica, quindi non c'erano sovrapposizioni di voci che non fossero all'unisono o distanziate di un intervallo di quinta, inoltre gli strumenti utilizzati, come ad esempio il flauto, erano molto poveri di armonici superiori.
Scala cromatica pitagorica

nota	rapporto	frequenza (Hz)	cent
DO	1:1	261,6	0
DO#	2187:2048	279,4	114
RE	9:8	294,3	204
MIb	32:27	310,1	294
MI	81:64	331,2	408
FA	4:3	348,8	498
FA#	729:512	372,5	612
SOL	3:2	392,4	702
SOL#	6561:4096	419,1	816
LA	27:16	441.5	906
SIb	16:9	465,1	996
SI	243:128	496,7	1110
DO	2:1	523,3	1200

L'EVOLUZIONE MUSICALE

Lo studio delle scale
Però il gigantesco lavoro di Pitagora non ha lasciato indifferenti i matematici successivi e già due secoli dopo Aristosseno di Taranto cominciò a lavorare intorno ad una scala musicale 'temperata equabile', l'argomento fu ulteriormente approfondito da Simone Stevino nel XVI secolo dell'era volgare e nello stesso periodo dal musicista, padre di Galileo, Vincenzo Galilei.
Come si vede la sua adozione fu molto graduale nel tempo e questo per due ragioni, una tecnologica e uno estetico, ossia non esistevano strumenti così precisi per poter fare un'accordatura così precisa e inoltre si andavano a falsare alcuni intervalli pitagorici (ricordate, li abbiamo chiamati intervalli 'giusti'?), che all'orecchio risultavano più 'puri'.
Pensate che solo nel 1917 William Braid White sviluppò un metodo praticamente utilizzabile per accordare un pianoforte secondo un temperamento equabile rigoroso.
Molto prima però si era arrivati ad avere la base di calcolo esatta utilizzando i numeri irrazionali: il rapporto di frequenze che identificava il semitono temperato doveva essere la radice dodicesima di 2 (¹²√2), un numero irrazionale.
In questo modo dodici semitoni coprono esattamente l'intervallo di un'ottava.
Poiché ¹²√2 ≅ 1,06 ≅ 18/17, il semitono “temperato” risulta essere una via di mezzo tra il semitono cromatico (25/24) e il semitono diatonico (16/15) della scala naturale.
Il tono invece vale ¹²√2x¹²√2 ≅ 1,1224, quindi è molto più vicino al tono maggiore naturale (9/8=1,125) che al tono minore (10/9 ≅ 1,111).
Come conseguenza la terza maggiore temperata è decisamente crescente rispetto alla terza maggiore naturale, che è formata da un tono maggiore e un tono minore.
Benché il temperamento equabile sia stato teorizzato prima dell'introduzione in matematica del concetto di logaritmo, l'operazione di suddivisione equabile dell'ottava risulta semplificata se, invece di associare a ciascun intervallo musicale il rapporto fra le frequenze fondamentali delle note che lo compongono, si associa all'intervallo il logaritmo di questo rapporto. Infatti in questo modo la giustapposizione di due intervalli consecutivi (ad esempio due toni che formano una terza maggiore). anziché essere rappresentata dal prodotto dei rapporti di frequenze corrispondenti, è rappresentata dalla somma dei rispettivi logaritmi. Quindi la suddivisione dell'ottava in semitoni uguali comporta la semplice divisione per 12 del corrispondente valore logaritmico, anziché l'estrazione di una radice dodicesima.