calcolo per le quinte ascendenti partendo dal do come nota di riferimento. calcolo rapporto. frequenze nota intervallo. fondamentale 1/1 do unisono. 3/2 3/2 sol v. (3/2)2(1/2) 9/8 re ii. (3/2)3(1/2) 27/16 la vi. (3/2)4(1/2)2 81/64 mi iii. (3/2)5(1/2)2 243/128 si vii. (3/2)6(1/2)3 729/512 *fa# iv. abbiamo così trovato tutte le note di questa ottava che hanno tra loro intervalli 'giusti'. *qui è poco complicato spiegare perché si arriva alla nota fa# (si legge fa diesis) e non semplicemente al fa, ma sostanzialmente bisogna tenere conto che la sequenza delle note è la seguente: do do# re re# mi fa fa# sol sol# la la# si do. quindi in un intervallo di quinta ci devono essere sempre 8 note, come ad esempio da do a sol, ma il problema si presenta solo per l'intervallo da si a fa, dove per contare 8 note dobbiamo arrivare fino al fa#: si do do# re re# mi fa fa#. calcolo per le quinte discendenti partendo dal do come nota di riferimento (invece di dividere per 3/2 moltiplico per 2/3). calcolo rapporto. frequenze nota intervallo. fondamentale 1/1 do unisono. (2/3)(2) 4/3 fa iv. (2/3)2(2)2 16/9 sib vii. (2/3)3(2)2 32/27 mib iii. (2/3)4(2)3 128/81 lab vi. (2/3)5(2)3 256/243 reb ii. (2/3)6(2)4 1024/729 solb v. abbiamo così trovato tutte le note di questa ottava che hanno tra loro intervalli 'giusti'.

analogamente alla ragione di cui sopra qui si arriva alle note in b (bemolle) comprensibilmente analizzanzando la seguente sequenza a ritroso, alla prima quinta con 8 note si arriva esattamente al fa naturale, ossia senza diesis e senza bemolle (andando a ritroso usiamo i b bemolle invece dei # diesis, ma al lato pratico il sol#, sol diesis, e il lab, la bemolle, si suonano con lo stesso tasto: do si sib la lab sol solb fa mi mib re reb do. ma al successivo passaggio di quinta si arriva al fa mi mib re reb do si sib, e così via di seguito. il calcolo che abbiamo illustrato è in grado di dividere l'ottava in un numero infinito di parti rendendo gli intervalli fra due note sempre più piccoli, quindi va scelto un carattere estetico (consonanza) e di uniformità per farlo. partendo da una nota di do centrale (scelta in base alla udibilità) per i parametri umani, si consideri il do3, ossia il terzo do sulla tastiera di un pianoforte, abbiamo una nota con una frequenza di 261,6hz. moltiplicando di 3/2 si sale di una quinta, ossia si arriva a un sol3=261,6(3/2)=392,4hz. invece dividendo per 2/3 si scende di una quinta, arrivando al fa2 e per riportarlo nell'ottava di riferimento, ossia al fa3 è sufficiente moltiplicare per 2, quindi fa2=261,6/(3/2)=174,4hz e quindi fa3=174,4(2)=348,8hz. iterando il ragionamento per quinte ascendenti a partire dal sol3 otteniamo le altre note della scala: re4=392,4hz(3/2)=588,6hz => re3=588,6hz/2=294,3hz la3=294,3hz(3/2)=441,5hz mi4=441,5hz(3/2)=662,25hz => mi3=662,25hz/2=331,1hz si3=331,1hz(3/2)=496,7hz. in tal modo si ottiene la scala diatonica pitagorica, costituita da 7 note primarie. naturalmente anche questa immagine è un anacronismo (pitagora scriveva le note su un tetragramma) e quindi viene fatto solo per facilitare la comprensione in termini che ci siano più vicini. si chiama appunto scala diatonica quella che ha un intervallo di un semitono tra la terza e la quarta nota e tra la settima e l'ottava, mentre in tutti gli altri casi la distanza tra due note successive è di un tono intero. ora spieghiamo meglio cosa significa, perché la comprensione non è così immediata come potrebbe sembrare dalla semplice enunciazione di cui sopra. infatti se continuassimo a moltiplicare la successione delle frequenze per 3/2 o per 2/3 ci accorgeremmo che non si arriva mai a calcolare con i due sistemi ascendenti ed discendenti una nota che sia uguale ad un'altra con lo stesso nome, ma calcolata nei due diversi sistemi, e questo è dovuto al fatto che non c'è modo di scegliere un numero n intero tale da soddisfare l'equazione (3/2)n=2n. quindi con questi calcoli è impossibile ritornare al punto di partenza: ..segue nell'inserto arte del prossimo mese ./.

Calcolo per le quinte ascendenti partendo dal Do come nota di riferimento.

Calcolo	Rapporto Frequenze	Nota	Intervallo
Fondamentale	1/1	Do	Unisono
3/2	3/2	Sol	V
(3/2)2(1/2)	9/8	Re	II
(3/2)3(1/2)	27/16	La	VI
(3/2)4(1/2)2	81/64	Mi	III
(3/2)5(1/2)2	243/128	Si	VII
(3/2)6(1/2)3	729/512	*Fa#	IV

Abbiamo così trovato tutte le note di questa ottava che hanno tra loro intervalli 'giusti'.
*Qui è poco complicato spiegare perché si arriva alla nota Fa# (si legge Fa diesis) e non semplicemente al Fa, ma sostanzialmente bisogna tenere conto che la sequenza delle note è la seguente:
Do Do# Re Re# Mi Fa Fa# Sol Sol# La La# Si Do.
Quindi in un intervallo di quinta ci devono essere sempre 8 note, come ad esempio da Do a Sol, ma il problema si presenta solo per l'intervallo da Si a Fa, dove per contare 8 note dobbiamo arrivare fino al Fa#: Si Do Do# Re Re# Mi Fa Fa#.

Calcolo per le quinte discendenti partendo dal Do come nota di riferimento (invece di dividere per 3/2 moltiplico per 2/3).

Calcolo	Rapporto Frequenze	Nota	Intervallo
Fondamentale	1/1	Do	Unisono
(2/3)(2)	4/3	Fa	IV
(2/3)2(2)2	16/9	Sib	VII
(2/3)3(2)2	32/27	Mib	III
(2/3)4(2)3	128/81	Lab	VI
(2/3)5(2)3	256/243	Reb	II
(2/3)6(2)4	1024/729	Solb	V

Abbiamo così trovato tutte le note di questa ottava che hanno tra loro intervalli 'giusti'.

Analogamente alla ragione di cui sopra qui si arriva alle note in b (bemolle) comprensibilmente analizzanzando la seguente sequenza a ritroso, alla prima quinta con 8 note si arriva esattamente al Fa naturale, ossia senza diesis e senza bemolle (andando a ritroso usiamo i b bemolle invece dei # diesis, ma al lato pratico il Sol#, Sol diesis, e il Lab, La bemolle, si suonano con lo stesso tasto:
Do Si Sib La Lab Sol Solb Fa Mi Mib Re Reb Do.
ma al successivo passaggio di quinta si arriva al Fa Mi Mib Re Reb Do Si Sib, e così via di seguito.
Il calcolo che abbiamo illustrato è in grado di dividere l'ottava in un numero infinito di parti rendendo gli intervalli fra due note sempre più piccoli, quindi va scelto un carattere estetico (consonanza) e di uniformità per farlo.
Partendo da una nota di Do centrale (scelta in base alla udibilità) per i parametri umani, si consideri il Do₃, ossia il terzo Do sulla tastiera di un pianoforte, abbiamo una nota con una frequenza di 261,6Hz. Moltiplicando di 3/2 si sale di una quinta, ossia si arriva a un Sol₃=261,6(3/2)=392,4Hz. Invece dividendo per 2/3 si scende di una quinta, arrivando al Fa₂ e per riportarlo nell'ottava di riferimento, ossia al Fa₃ è sufficiente moltiplicare per 2, quindi Fa₂=261,6/(3/2)=174,4Hz e quindi Fa₃=174,4(2)=348,8Hz.
Iterando il ragionamento per quinte ascendenti a partire dal Sol₃ otteniamo le altre note della scala:
Re₄=392,4Hz(3/2)=588,6Hz => Re₃=588,6Hz/2=294,3Hz La₃=294,3Hz(3/2)=441,5Hz Mi₄=441,5Hz(3/2)=662,25Hz => Mi₃=662,25Hz/2=331,1Hz Si₃=331,1Hz(3/2)=496,7Hz
In tal modo si ottiene la scala diatonica pitagorica, costituita da 7 note primarie.

Naturalmente anche questa immagine è un anacronismo (Pitagora scriveva le note su un tetragramma) e quindi viene fatto solo per facilitare la comprensione in termini che ci siano più vicini.
Si chiama appunto scala diatonica quella che ha un intervallo di un semitono tra la terza e la quarta nota e tra la settima e l'ottava, mentre in tutti gli altri casi la distanza tra due note successive è di un tono intero.
Ora spieghiamo meglio cosa significa, perché la comprensione non è così immediata come potrebbe sembrare dalla semplice enunciazione di cui sopra.
Infatti se continuassimo a moltiplicare la successione delle frequenze per 3/2 o per 2/3 ci accorgeremmo che non si arriva mai a calcolare con i due sistemi ascendenti ed discendenti una nota che sia uguale ad un'altra con lo stesso nome, ma calcolata nei due diversi sistemi, e questo è dovuto al fatto che non c'è modo di scegliere un numero n intero tale da soddisfare l'equazione (3/2)ⁿ=2ⁿ
Quindi con questi calcoli è impossibile ritornare al punto di partenza: